2026年全国I卷数学试题分析2——多选&填空

在正式讲题之前先勘个误

关于第八题说的， 64个点全部分布在一个球体上是错误的，实际上它是一个由八个小正方体排列而成的大正方体. 但是他仍然具有高度对称性.64个点的期望仍然为零.

可视化的代码如下.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from itertools import product

# 1. 生成符合题意的 64 个点
values = [-2, -1, 1, 2]
points = np.array(list(product(values, repeat=3)))

X = points[:, 0]
Y = points[:, 1]
Z = points[:, 2]

# 2. 创建三维画布
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 3. 绘制这 64 个格点
ax.scatter(X, Y, Z, c='blue', s=60, alpha=0.8, label='64 Lattice Points')

# 4. 特别标注出 P(1, 1, 1) 点
ax.scatter([1], [1], [1], c='red', s=150, edgecolors='black', linewidth=2, label='Point P(1,1,1)')

# 5. 绘制一个对比用的透明球体 (半径为最大格点距离，即到 (2,2,2) 的距离)
r = np.sqrt(2**2 + 2**2 + 2**2)  # 约等于 3.46
u = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
v = np.linspace(0, np.pi, 100)
xs = r * np.outer(np.cos(u), np.sin(v))
ys = r * np.outer(np.sin(u), np.sin(v))
zs = r * np.outer(np.ones(np.size(u)), np.cos(v))
ax.plot_surface(xs, ys, zs, color='gray', alpha=0.15, rstride=4, cstride=4)

# 6. 设置坐标轴标签和范围
ax.set_xlabel('X Axis')
ax.set_ylabel('Y Axis')
ax.set_zlabel('Z Axis')
ax.set_title('Spatial Distribution of the 64 Points vs a Sphere')

# 保持坐标轴比例 1:1:1，防止图像变形
ax.set_box_aspect([1, 1, 1])

# 设置视口角度，方便观察其正方体结构
ax.view_init(elev=25, azim=45)

plt.legend()
plt.show()

好的，我们正式开始讲题

9.这道题是考基础的复数的概念和运算,不难.仔细认真计算就可以.

10.这道题是一道立体几何题目。简单的方法是把它放在空间向量中.

需要说明的是,题目中AB两个定点,其实他并不固定在某一个位置.所以你可以把这道题目当成ABCD四个动点,其中AB在一条恒定的直线上运动.

为了描述方便，我把直线 $l_{A B}$ 放在y轴上.按照题目要求动点D到直线 $l_{A B}$ 的距离为1,那么我们假设动点的在 $x O y$ 平面上.那么易得, $D$ 在直线

{\begin{matrix} x = 1 \\ y = t \\ z = 0 \end{matrix} (t \in R)

$C$ 在直线

{\begin{matrix} x = 1 \\ y = t \\ z = \sqrt{3} \end{matrix} (t \in R)

在坐标上是这个样子的，考场上可以在草稿纸上轻松地画出来，这些线都是平行于坐标轴的直线.坐标也很简单.

当我这样移动C和D点时，角度已经小于六十度.在考场上，你们可以在图上画，如果C和D点同时向右移动到无穷远这个角肯定会无限小，但你一定不会小到零.

同理，如果C点和D点,同时向左向右异向移动,那么这个角也会无限大，但一定不会大到一百八.所以A选项错误,正确答案应该是

∠ C A D \in (0, π)

B选项很简单, CD2点本身就在两条互相平行的直线上。而这两条直线的距离很好算，就是 $\sqrt{3}$ 那么无论 CD两点在这两条直线上怎么跑,距离一定不会小于 $\sqrt{3}$ ，这是平行线的性质决定的.

C选项，看前提条件,当 $A B ⊥ C D$ 时。也就意味着CD已经平行于Z轴,当然，也就是说 $C D ⊥ 面 x O y$ .所以C选项正确.

我们可以想象这样一个立体图形,是一个点往外引申的三个角都是直角的三棱锥.这个时候满足 $A B ⊥ 面 A C D$ ,很显然。 AC并不垂直于AD.

这道题我一开始写的时候想复杂了，不知道脑子怎么搞的突然要用封闭向量.然后一直算一直算一直算,算不出来.最后想着要用几何法,然后几何法图形想不出来.最后没招了,稍微画了个坐标系就出来了.很简单其实这道题.基本关系在草稿纸上能推出来，不用像我一样用很专业的工具去画一个精细的图形.

如图可知,大家也可以在想象当 $k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，它们都平行于任意两圆的公切线（平行于y轴斜率不存在，在本题不讨论）.无论怎么移动直线,这三个圆都不可能同时被直线所截.已经不满足题目中要求的和三个圆均有两个交点的条件了，所以A是错的.如果你的胆子够大,觉得11题一定三个选项.把A排除了,选BCD走人.那我得夸赞你一句艺高人胆大.

B.我不知道你们发现了没有？这三个圆的圆心连起来其实是一个等边三角形,而圆的弦长进一步推导就是圆心到直线的距离.也就是说,圆心到直线的距离相等的直线一共有三条.

那么我们知道等边三角形的中位线到三个顶点的距离相等

很显然就是这三条直线了，B选项是对的.

C.经过B选项的分析，我们已经知道现在有三条直线能够让圆被直线所截的三个弦长相等.如果你再仔细观察，会发现这三条弦和半径能够组成一个小的等腰三角形，所以这三条弦长分别都是1.那很明显, C选项满足 $s_{1} + s_{2} + s_{3} = 3$ 的直线已经有三条.接下来就是再找一条直线证明他加起来等于三就行.

但是,由于上下直线不是特殊情况,所以我们只能定性判断.作为一个学过高数的大学生,我给出一个判断方法.其实这个判断方法刚开始我没有想出来.是在我写完试卷之后看B站up主阿不的讲解视频,他讲的判断方法我认为这个方法更好理解.

首先，如果了解过二元函数的同学可能知道二元函数的所有函数值的集合，是一个面(你别管这个面是曲面还是平面，反正是个面).那么根据题中所给条件，我们也可以列一个函数.因为 $s_{1} + s_{2} + s_{3}$ 是我们所求的一个值，所以我们把它放到因变量的位置上.而它们的值是随着直线的变化而变化的,而直线的变化因素由斜率和截距决定.因此，我们可以得到以下关系式

s_{1} + s_{2} + s_{3} = f (k, b) = 3

大家都解过二元方程.我们都知道，如果想要一个二元方程有精确的唯一解必须有两或以上个方程组.所以对于只有一个约束条件的式子，它大概率是有无穷多个解.那么我们推断, C选项符合要求的直线也有无穷多个.这是定性判断.

当然，这种推断也是不严谨的,如果要严格说明他有无穷多个解，必须加上以下条件

存在某个解 $(k_{0}, b_{0})$ ，并且

\nabla f (k_{0}, b_{0}) \neq 0

也就是

(\frac{\partial f}{\partial k}, \frac{\partial f}{\partial b}) \neq (0, 0)

即对两个参数分别求偏导，使得它们不等于零.

但是受限于我的数学水平，我无法严格的证明.所以C选项请原谅，我只能为大家做到这里——不严谨地证明C是对的.

D.这道题仍然要用到C选项的 $s_{1} + s_{2} + s_{3} = f (k, b)$ ,但是由于 $b = 0$ ,这个函数的解析式将会极大地简化.使得我们对它的定量分析成为了可能

首先通过点到直线的距离公式，我们可以轻松的表示出弦长，从而表示出函数 $f (k)$

因为圆 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 关于y轴对称，所以他们两个和过原点的直线所截出来的弦长度相等，因此

s_{1} = s_{2} = 2 \sqrt{1 - \frac{k^{2}}{1 + k^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{1 + k^{2}}}

$s_{3}$ 的弦长单独计算为

s_{3} = 2 \sqrt{1 - \frac{3}{1 + k^{2}}} = \frac{2 \sqrt{k^{2} - 2}}{\sqrt{1 + k^{2}}}

所以函数

f (k) = \frac{4 + 2 \sqrt{k^{2} - 2}}{\sqrt{1 + k^{2}}}

然后有3种方法算最值

求导

这是最常规最容易想到的方法，但是不好算，我决定不浪费笔墨在计算上，总之
$f^{'} (k) = - \frac{2 k (2 \sqrt{k^{2} - 2} - 3)}{\sqrt{k^{2} - 2} {(k^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$
经计算，它的原函数对应极大值的零点
$k_{0} = \frac{\sqrt{17}}{2}$
于是
$f (k_{0}) = \frac{2 \sqrt{21}}{3}$

2.三角代换

这个方法也不是我想出来的，还是阿不他想出来的.

首先你要有略微惊人的注意力,注意到.

(\sqrt{\frac{k^{2} - 2}{k^{2} + 1}})^{2} + (\sqrt{\frac{3}{k^{2} + 1}})^{2} = 1

因此，令

\sqrt{\frac{k^{2} - 2}{k^{2} + 1}} = s i n θ, \sqrt{\frac{3}{k^{2} + 1}} = c o s θ

那么

f (k) = g (θ) = \frac{4}{\sqrt{3}} c o s θ + 2 s i n θ

最后可以得到最大值为

\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{(\frac{4}{\sqrt{3}})^{2} + 2^{2}} = \frac{2 \sqrt{21}}{3}

3.柯西不等式

首先，我们知道

(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2})

那么，我们令

\frac{1}{k^{2} + 1} = m

于是

f (k) = h (m) = 4 \sqrt{m} + 2 \sqrt{1 - 3 m} = \frac{4}{\sqrt{3}} \sqrt{3 m} + 2 \sqrt{1 - 3 m}

f^{2} (m) = h^{2} (m) = (\frac{4}{\sqrt{3}} \sqrt{3 m} + 2 \sqrt{1 - 3 m})^{2} \leq (\frac{16}{3} + 4)

f (m) \leq \frac{\sqrt{21}}{3}

12.这道题没啥可说的，就是注意一下别犯我的错误.把双曲线的ABC关系记成椭圆的了.

13.题目中说是偶函数,那也就意味着 $f (x)$ 通过增减 $θ$ 变化之后, $f (x)$ 可以由 $s i n$ 转换成 $c o s$ ,也就是

θ = \frac{k_{i} π}{2} (k_{i} \in 2 i - 1)

因为 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 单调递增,所以 $θ = \frac{3 π}{2}$

当然从这个条件我们也可以推出

\frac{T}{2} \geq \frac{π}{2}

即

a \leq 2

因为这道题 $f (- x) = f (x)$ ，所以讨论 $a < 0$ 在本题无意义.

将 $a = 1, 2$ 带入,你会发现 $f (\frac{3 π}{2}) = 1$ 恒成立.

不要把波峰波谷看反了，画图的时候.不要像我一样,前面什么都对，最后算成-1了.

14.这道题虽说是填空的最后一道题，但是它并不难.

首先我们可以根据求和公式得到递推式

S_{3 n} - S_{3 n - 3} = 2 n \Rightarrow a_{3 n} + a_{3 n - 1} + a_{3 n - 2} = 2 n

不要忘了 $n = 1$ 讨论. $S_{1} = 2$ ,说明 $n = 1$ 的情况在递推式中成立.

那么我们可以把 $a_{n}$ 的前几项列出来

{\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + a_{3} = 2 \\ a_{4} + a_{5} + a_{6} = 4 \\ a_{7} + a_{8} + a_{9} = 6 \\ a_{10} + a_{11} + a_{12} = 8 \\ \dots \end{matrix} \dots \dots \dots \dots \dots \dots 1.1

对于某连续九项成等比数列,首先,我们可以考虑以下两种情况。

1.正巧有三组可以满足，连续九项成等比数列

那么一定有

\frac{2 n}{2 n + 2} = \frac{2 n + 2}{2 n + 4}

此方程无解，也就是说不存在这样的等比数列.

2.不能巧合的有三组满足连续九项成等比数列.但不论是哪九项，一定有两组满足1.1式.

此时，我们假设"这两组"成等比数列,也就是说

q^{3} (a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2}) = a_{m + 3} + a_{m + 4} + a_{m + 5} \Rightarrow q^{3} = \frac{2 m + 2}{2 m} (m > 1, m \in N)

因为题目中只约束了求和公式,所以对于剩下的三个数，我们无需在意.

也就是,求

f (m) = \frac{2 m + 2}{2 m} (m > 1, m \in N)

的最大值

显然这个函数是单调递减的，也就是当 $m = 2$ 的时候， $f (m)$ 是最大的,即

q^{3} = \frac{3}{2}

这道题的答案就是

q = \sqrt[3]{\frac{3}{2}}

请注意,最后别忘了开三次根式.我在评论区已经见过一个说这道题2/3已经解出来，但是没有开根式的.

附录

几何题目，图像来源：

计算器套件 - GeoGebra

第11题，CD选项的思路

【【逐题精讲】2026新高考1卷：难！定性判断很重要，解题需开启“深度思考”】【精准空降到 35:18】 https://www.bilibili.com/video/BV1P9E96rEiU/?share_source=copy_web&vd_source=5e9c6b2e342f0f138aaee34ebf5d22fc&t=2118

总结一下吧

我们可以从选择和填空中看出，这张卷子是近年来教育部所提倡的多想少算的大成之作.除了第11题D选项之外，其他题目算起来并不难,有些题目还能让你靠直觉推断.并且你会发现,这张卷子的选填压轴并非想不出来或者计算量大到让你算到死.对于准高二和准高三的同学们，我认为这张卷子是想让同学们知道,选填压轴并非看见就跑的题目.所以这张卷子如果在了解了大概的思路和出题人的想法之后，做起来是并不难的.但是你在学校自习做练习和在考场上考试是两回事儿.

以上推断只是我个人的想法，一家之言，仅供参考.

最后感谢小红书博主@高中数学李无量，对博客进行纠错和提出修改建议.

谢谢同志!